多层线性模型SPSS教程附视频教程

xxxspy 2025-02-24 06:04:43

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本教程将引导您逐步了解如何使用多层线性模型（Hierarchical Linear Modeling, HLM），也称为混合效应模型或多水平模型，来分析嵌套数据。我们将基于Heck et al. (2014) 第3章的示例进行讲解，该示例探讨了学生数学成绩与学生和学校层面的因素之间的关系。本教程假设您具备基本的统计学知识，并且熟悉SPSS软件的操作。

视频教程在最下方

1. 引言：为什么需要多层线性模型？

在教育研究、心理学、社会科学等领域，我们经常遇到嵌套数据。例如，学生嵌套在班级中，班级嵌套在学校中，学校嵌套在学区中。在这种情况下，简单地将所有数据视为独立个体进行分析可能会导致以下问题：

违反独立性假设：同一学校的学生之间可能存在相关性，而简单线性回归假设个体之间相互独立。
标准误估计不准确：忽略数据的层次结构会导致标准误估计偏小，从而增加I类错误的概率（错误地拒绝零假设）。
无法解释组间差异：简单线性回归无法解释不同学校之间的差异，而这些差异可能受到学校层面的因素的影响。

多层线性模型能够有效地解决上述问题。它通过明确地对数据的层次结构进行建模，考虑了组内和组间的变异，从而得到更准确和更全面的分析结果。

2. 示例数据描述

本教程使用的示例数据集包含6871名学生，他们嵌套在419所学校中。数据集中的变量包括：

**Level 1 (学生层面)**：
- Schcode: 学校代码。
- Rid: 学生在给定学校内的ID。
- ID: 学生在所有学校中的唯一ID。
- Female: 性别 (0=男性, 1=女性)。
- SES: 学生社会经济地位。
- Math: 数学成绩（连续变量）。
**Level 2 (学校层面)**：
- SES_mean: 学校平均社会经济地位。
- Prop47yrc: 学校中计划上四年制大学的学生比例。
- Public: 学校类型 (1=公立, 0=其他，如私立)。

我们的目标是回答以下问题：

学生数学成绩是否在不同学校之间存在差异？
学生社会经济地位 (SES) 与数学成绩之间是否存在关系？
SES对数学成绩的影响在学校层面是否会“增强”？其他学校层面的组成因素是否也能预测学生成绩？
学生SES与数学成绩的关系斜率在不同学校之间是否不同？如果存在差异，学校层面的环境因素能否解释这些斜率的变异？

3. 单层回归分析：一个不恰当的开始

在开始多层建模之前，让我们先尝试使用单层回归来分析数据，以了解其局限性。我们将建立一个简单的线性回归模型，预测学生数学成绩，仅使用学生SES作为预测变量。

模型:

Math_i = b0 + b1 * SES_i + e_i

其中:

Math_i是学生i的数学成绩。
SES_i是学生i的社会经济地位。
b0是截距。
b1是SES的回归系数。
e_i是残差。

在SPSS中，使用“分析” -> “回归” -> “线性”进行分析。将Math作为因变量，SES作为自变量。

结果解释:

根据PPT中的结果：

R平方=0.143，表明SES解释了数学成绩14.3%的变异，模型整体显著 (F(1, 6869) = 1146.382, p < .001)。
SES是一个显著的正向预测因子 (b = 4.255, s.e. = 0.126, p < .001)。这意味着，学生的社会经济地位越高，数学成绩也越高。

预测方程：

Math_i = b0 + 4.255 * SES_i (其中b0为截距值)

单层回归的局限性：

虽然这个模型表明SES与数学成绩之间存在显著关系，但它存在一些关键问题：

忽略了学校的影响: 模型假设所有学校的学生都是一样的，忽略了学校可能对学生成绩产生的影响。
固定效应假设: 模型将截距和斜率视为固定参数，即对所有学校都是一样的，这可能并不现实。

下图说明了不同学校的学生SES和数学成绩之间的关系可能不同，截距和斜率可能存在变异。

4. 多层线性模型建模步骤

Heck et al. (2014) 推荐的多层模型建模步骤如下：

步骤1：建立和检验零模型 (Null Model): 评估学校层面是否存在显著的变异。
步骤2：建立和检验Level 1模型: 加入学生层面的预测变量 (例如，SES)。
步骤3：建立和检验Level 2模型: 加入学校层面的预测变量 (例如，学校平均SES)。
步骤4：建立和检验随机斜率模型（可选）: 允许学生层面的预测变量的斜率在学校层面变异。

4.1 步骤1：建立和检验零模型 (Null Model)

零模型，也称为方差分解模型或随机截距模型，不包含任何预测变量。其目的是确定因变量（本例中为数学成绩）在不同学校之间是否存在显著的变异。

模型公式：

**Level 1 (学生层面)**： Math_ij = b0j + e_ij
**Level 2 (学校层面)**： b0j = g00 + u0j

其中：

Math_ij是学校j中学生i的数学成绩。
b0j是学校j的平均数学成绩 (截距)。
e_ij是学生层面的随机误差项，假设服从均值为0，方差为σ²的分布。
g00是所有学校的平均数学成绩 (总体平均数)。
u0j是学校层面的随机效应，表示学校j的平均数学成绩与总体平均数之间的差异，假设服从均值为0，方差为τ²的分布。

混合模型公式：

Math_ij = g00 + u0j + e_ij

在SPSS中进行分析：

选择 “分析” -> “混合模型” -> “线性…”.
在弹出的窗口中，选择 ID 作为“主体”变量，Schcode 作为“重复测量”变量。主体变量指的是最低层级的个体ID，而重复测量是更高层级的ID。
注意: Schcode实际上不是重复测量，但是SPSS需要一个重复测量变量才能运行混合模型，在这里将level 2的学校code放入这个位置。
点击 “继续”。
在下一个窗口中，将 Math 移到“因变量”框中。
点击 “固定…” 按钮，确保“截距”在模型中，且没有其他变量。
点击 “随机…” 按钮，将 Schcode 移到 “组合” 框中。这指定了随机效应的水平。确保“包含截距”已选中。
点击 “估计” 按钮，将估计方法从 “REML” 改为 “ML”，因为我们要进行模型比较。
点击 “统计…” 按钮，选择 “参数估计”，“协方差参数的检验” 和 “随机效应的协方差”。
点击 “确定” 运行模型。

结果解释：

SPSS输出的结果将包含以下关键信息：

固定效应的估计值：g00，即所有学校的平均数学成绩。
随机效应的方差估计：σ² (Level 1残差方差) 和 τ² (Level 2截距方差，即学校间变异)。
协方差参数的检验：检验τ²是否显著大于0。
-2对数似然值 (-2LL): 用于模型比较。

如果τ²的检验结果显著 (p < 0.05)，则表明学校之间的数学成绩存在显著差异。这意味着，解释学生数学成绩不仅仅需要考虑学生层面的因素，还需要考虑学校层面的因素。

计算组内相关系数 (ICC)：

组内相关系数（Intraclass Correlation Coefficient, ICC）用于衡量观测值在组内的聚集程度。它表示总方差中，组间方差所占的比例。

ICC = τ² / (τ² + σ²)

在本例中，ICC表示学生数学成绩的总变异中，有多少比例是由学校差异造成的。

根据PPT，ICC = 6.515 / (6.515 + 40.679) = 0.138，意味着大约13.8%的数学成绩差异存在于学校之间。通常，ICC值大于0.05被认为是重要的集群效应的指标。

结论：

如果 ICC 显著大于 0，说明学生数学成绩在学校层面存在显著的集群效应，这表明使用多层模型是合适的。

4.2 步骤2：建立和检验Level 1模型

在步骤2中，我们将在Level 1模型中加入学生层面的预测变量，以解释学生数学成绩的个体差异。在本例中，我们将加入学生社会经济地位 (SES) 作为预测变量。

模型公式：

**Level 1 (学生层面)**： Math_ij = b0j + b1 * SES_ij + e_ij
**Level 2 (学校层面)**： b0j = g00 + u0j

其中：

Math_ij是学校j中学生i的数学成绩。
SES_ij是学校j中学生i的社会经济地位。
b0j是学校j的平均数学成绩 (截距)。
b1是SES的回归系数，假设在所有学校中都是相同的（固定斜率）。
e_ij是学生层面的随机误差项。
g00是所有学校的平均数学成绩 (总体平均数)。
u0j是学校层面的随机效应。

在SPSS中进行分析：

打开步骤1中的模型分析界面（如果关闭了SPSS，需要重新按照步骤1操作至第四步）。
将 SES 移到 “协变量” 框中。
点击 “固定…” 按钮，确保“截距”和SES都在模型中。
点击 “确定” 运行模型。

结果解释：

SPSS输出的结果将包含以下关键信息：

固定效应的估计值：g00 (总体平均数)，b1 (SES的回归系数)。
随机效应的方差估计：σ² (Level 1残差方差) 和 τ² (Level 2截距方差)。
-2对数似然值 (-2LL): 用于模型比较。

模型比较：

为了确定加入SES是否显著提高了模型的拟合度，我们需要将步骤2的模型与步骤1的零模型进行比较。这可以通过似然比检验（Likelihood Ratio Test）来完成。似然比检验的统计量为：

χ² = -2LL(Model 1) - (-2LL(Model 2))

其中，Model 1是零模型，Model 2是加入了SES的Level 1模型。该统计量服从自由度为模型参数差异数的卡方分布。

如果似然比检验结果显著 (p < 0.05)，则表明加入SES显著提高了模型的拟合度。

伪R平方（Pseudo-R-squared）：

伪R平方用于衡量加入SES后，模型解释的Level 1变异的增加比例。其计算公式为：

Pseudo-R-squared = (σ²(Model 1) - σ²(Model 2)) / σ²(Model 1)

根据PPT内容，伪R平方为 (40.679-38.343)/40.679 = 0.057 表明加入 SES 解释了 5.7% 的学校内部的变异。

结论：

如果似然比检验结果显著，且SES的回归系数显著，则表明学生社会经济地位是学生数学成绩的重要预测因素。

4.3 步骤3：建立和检验Level 2模型

在步骤3中，我们将在模型中加入学校层面的预测变量，以解释学校之间的平均数学成绩的差异。在本例中，我们将加入学校平均SES (SES_mean)、学校中计划上四年制大学的学生比例 (Prop47yrc) 和学校类型 (Public) 作为预测变量。

模型公式：

**Level 1 (学生层面)**： Math_ij = b0j + b1 * SES_ij + e_ij
**Level 2 (学校层面)**： b0j = g00 + g01 * SES_mean_j + g02 * Prop47yrc_j + g03 * Public_j + u0j

其中：

Math_ij是学校j中学生i的数学成绩。
SES_ij是学校j中学生i的社会经济地位。
b0j是学校j的平均数学成绩 (截距)。
b1是SES的回归系数，假设在所有学校中都是相同的（固定斜率）。
e_ij是学生层面的随机误差项。
g00是所有学校的平均数学成绩 (总体平均数)。
SES_mean_j是学校j的平均社会经济地位。
Prop47yrc_j是学校j中计划上四年制大学的学生比例。
Public_j是学校j的类型 (1=公立, 0=其他)。
g01, g02, g03 是对应的回归系数。
u0j是学校层面的随机效应。

在SPSS中进行分析：

打开步骤2中的模型分析界面。
将 SES_mean、Prop47yrc 和 Public 移到 “协变量” 框中。
点击 “固定…” 按钮，确保“截距”, SES, SES_mean, Prop47yrc 和 Public 都在模型中。
点击 “确定” 运行模型。

结果解释：

SPSS输出的结果将包含以下关键信息：

固定效应的估计值：g00, b1, g01, g02, g03.
随机效应的方差估计：σ² (Level 1残差方差) 和 τ² (Level 2截距方差)。
-2对数似然值 (-2LL): 用于模型比较。

模型比较：

将步骤3的模型与步骤2的模型进行比较，使用似然比检验判断加入Level 2预测变量是否显著提高了模型的拟合度。

结果分析：

根据PPT内容，在Level 1，SES是一个显著正向预测因子 (b = 3.19, s.e. = 0.16, p < .001)。在Level 2，学校平均SES (b = 2.47, s.e. = 0.31, p < .001) 和计划上四年制大学的学生比例 (b = 1.42, s.e. = 0.47, p < .001) 也是显著正向预测因子。学校类型 (b = -0.16, s.e. = 0.27, p = .549) 不是显著预测因子。

结论：

如果似然比检验结果显著，且Level 2预测变量的回归系数显著，则表明学校层面的因素对学生数学成绩存在显著影响。

4.4 步骤4：建立和检验随机斜率模型

在之前的模型中，我们假设学生SES对数学成绩的影响在所有学校中都是相同的（固定斜率）。然而，实际情况可能并非如此。例如，在某些学校，SES对学生成绩的影响可能更大。为了检验这种可能性，我们需要建立一个随机斜率模型，允许学生SES的斜率在不同学校之间变异。

模型公式：

**Level 1 (学生层面)**： Math_ij = b0j + b1j * SES_ij + e_ij
**Level 2 (学校层面)**：
- b0j = g00 + g01 * SES_mean_j + g02 * Prop47yrc_j + g03 * Public_j + u0j
- b1j = g10 + u1j

其中：