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python 线性代数:[11]判断正定矩阵

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正定矩阵的定义是:设M是n阶方阵,如果对任何非零向量z,都有 z’Mz > 0,其中z’ 表示z的转置,就称M正定矩阵。这个定义你先搞懂,不懂的看课本去,我这里就直接用python来检验某个方阵是不是正定矩阵(用二维数组表示矩阵)。

  • 我们用到的一个重要性质是:判定定理1:对称阵A为正定的充分必要条件是:A的特征值全为正。所以我们只要求得对称阵A的所有特征值即可。

  • 引入numpy模块

  • 创建一个方阵A
  • 将方阵转换成对称阵的方法是:
  • 求对称阵A的特征值
  • 判断是不是所有的特征值都大于0,用到了all函数,显然对称阵A不是正定的
  • 我们来创建一个单位矩阵,它肯定是对称的,同样的方法检验是不是正定矩阵
  • 网上查到更简便的方法是对对称阵进行cholesky分解,如果像这样没有提示出错,就说明它是正定的
  • 如果提示出错,就说明它不是正定矩阵,你可以使用try函数捕获错误值
  • 以下是今天用到的部分代码:

  • import numpy

  • A=range(16)

  • A

  • [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15]

  • A=numpy.array(A).reshape(4,4)

  • A

  • array([[ 0, 1, 2, 3],

  • [ 4, 5, 6, 7],

  • [ 8, 9, 10, 11],

  • [12, 13, 14, 15]])

  • A=A+A.T

  • A

  • array([[ 0, 5, 10, 15],

  • [ 5, 10, 15, 20],

  • [10, 15, 20, 25],

  • [15, 20, 25, 30]])

  • B=numpy.linalg.eigvals(A)

  • B

  • array([ 6.74165739e+01 +0.00000000e+00j,

  • -7.41657387e+00 +0.00000000e+00j,

  • -8.88285420e-17 +1.82759332e-15j, -8.88285420e-17 -1.82759332e-15j])

  • if numpy.all(B>0):print ‘是正定矩阵’

  • C=numpy.linalg.cholesky(A)

  • Traceback (most recent call last):

  • File “<pyshell#41>”, line 1, in

  • C=numpy.linalg.cholesky(A)

  • File “D:Python27libsite-packages
    umpy-1.8.0-py2.7-win-amd64.egg
    umpylinalglinalg.py”, line 603, in cholesky

  • return wrap(gufunc(a, signature=signature, extobj=extobj).astype(result_t))

  • File “D:Python27libsite-packages
    umpy-1.8.0-py2.7-win-amd64.egg
    umpylinalglinalg.py”, line 93, in _raise_linalgerror_nonposdef

  • raise LinAlgError(“Matrix is not positive definite”)

  • LinAlgError: Matrix is not positive definite

  • A=numpy.eye(4)

  • A

  • array([[ 1., 0., 0., 0.],

  • [ 0., 1., 0., 0.],

  • [ 0., 0., 1., 0.],

  • [ 0., 0., 0., 1.]])

  • B=numpy.linalg.eigvals(A)

  • B

  • array([ 1., 1., 1., 1.])

  • if numpy.all(B>0):print ‘是正定矩阵’

  • 是正定矩阵

  • C=numpy.linalg.cholesky(A)

  • C

  • array([[ 1., 0., 0., 0.],

  • [ 0., 1., 0., 0.],

  • [ 0., 0., 1., 0.],

  • [ 0., 0., 0., 1.]])

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