组内相关系数(ICC)是一个通用的统计量,用于多水平建模、方差分析、心理测量学和其他领域。它衡量的是组内(或类别内)的聚类程度,但它也代表了一个互补的概念,即组间的变异程度。如果我们认为数学成绩$Y{ij}$
的方差可以分为由于组内个体差异导致的方差$\sigma^{2}$
(例如,学校内学生的数学乘积的方差)和组间方差$\tau_{0}^{2}$
(例如,学校平均数学成绩的方差),那么我们可以创建一个由组引起的方差与总方差的比值:
$$ ICC=\rho={\frac{\tau_{0}^{2}}{\sigma^{2}+\tau_{0}^{2}}} $$
所得值理论上介于0和1.0之间,因为它是一个方差的比率,较高的值反映了组间变异性的增加。因此,ICC提供了与方差分析类似的信息。尽管可以计算ICC的标准误差、显著性检验和置信区间,但我认为这通常是不相关的,因为在忽略聚类的情况下,一个微不足道的ICC会导致有偏见的标准误差(从而导致第一类错误),而截距的方差显著性检验则提供了关于显著的组间变异性信息。上述公式常用于计算ICC,但也有人提出了其他方法(Bliese, 1988; Shrout & Fleiss, 1979)。尽管如此,ICC是一个有价值的描述性统计量,用作初步步骤以更好地理解由于组差异导致的方差比例。
ICC 的大小意义
ICC越大代表组间变异程度越大,当ICC=0时,代表组间变量为0,代表数据只存在组内变异,以学校和学生两个层面为例,ICC为0时,学校跟学校相比,校内学生平均成绩没有差异,当ICC为1时,同一个学校内部的学生成绩完全一样,没有变异,不同学校的学生成绩有差异。
以下面的表格为例:
![](example.png)
ICC 如何计算
SPSS 的方法
在spss中做多水平回归(混合效应模型)时,构建仅有随机截距的空模型,就可以计算组间和组内方差:
![](spss.png)
依据以上公式计算ICC:
8.614025/(8.614025+39.148322)
R 计算方法
1 | > #nlme provides standard deviations of the random effects by default, use VarCorr to obtain variances |
或者,可以使用 psychometric 包的 icc 函数:
1 | > library(psychometric) |
HLM 结果
![](hlm.png)
Mplus 的方法
在mplus当中,计算ICC的代码如下,下面你需要更改成自己的数据文件、变量名,
1 | DATA: |