方差 - 是什么？
作者：Ruben Geert van den Berg，归属于 Statistics A-Z 和 ANOVA
方差 (Variance) 是一个数值，它表示一组数字彼此之间的离散程度。方差与标准差的平方相同，因此表达的是“相同的事情”（但程度更强）。
方差 - 示例
一项研究让100人执行一个简单的速度任务，共进行80次试验。对于每位参与者，记录80个反应时间（以秒为单位）。部分数据如下所示。
在类似这样的研究中，我们通常会看到，随着人们更频繁地执行速度任务，他们会变得更快。也就是说，平均反应时间往往会随着试验次数的增加而减少。 此外，反应时间在不同人之间通常会 变化 较小，因为他们更频繁地执行任务。从技术上讲，我们说方差随着试验次数的增加而减少。下表说明了试验1、4、7和10的情况。
方差与直方图
可视化上表数据的绝佳方法是为每次试验绘制一个直方图。如下图所示，参与者随着试验的进行变得更快；从试验1到试验10，直方图的条形向左移动，接近0秒。
第二个发现是，随着我们从试验1移动到试验10，直方图变得更窄（因此更高）；这说明随着实验的进行，参与者之间的反应时间变化越来越小。方差随着试验次数的增加而减少。
方差 - 总体公式
计算方差的一个基本公式是
\[S^2 = \frac{\sum(X - \overline{X})^2}{n}\]
我们建议您尝试理解这个公式的作用，因为这有助于理解 ANOVA（= 方差分析）。因此，我们将在少量数据上演示它。
方差 - Google表格 (GoogleSheets)
为了简单起见，我们将数据缩减为前5位参与者的第一次试验。这5个反应时间以及手动计算的方差位于 此Google表格 中。
方差 - 计算步骤
Google表格中的公式精确地显示了如何计算方差。基本步骤是：
- 计算平均值 (mean) 反应时间 (2.15)；
- 计算离差 (deviation scores) （反应时间减去平均反应时间）；
- 计算平方离差 (squared deviation) ；
- 将平方离差相加。结果 (0.49) 是平方和 (sum of squares) ，这是 ANOVA 的主要组成部分；
- 将平方和除以 (divide) 观察次数（5个反应时间）。
或者，通过在某个单元格中键入=VARP(B2:B6)来计算方差（B2:B6是包含我们5个反应时间的单元格）。 VARP 是 “variance population” 的缩写。 OpenOffice 和 MS Excel 包含类似的公式。
方差 - 样本公式
与标准差类似，如果我们的数据是来自更大总体的简单随机样本，则上述公式将系统地低估总体方差。在这种情况下，我们将使用略有不同的公式：
\[S^2 = \frac{\sum(X_i - \overline{X})^2}{n - 1}\]
因此，使用哪个公式取决于我们的数据：它们是否包含我们想要调查的整个总体，或者它们只是来自该总体的样本？ 由于我们的100名参与者显然是一个样本，我们将使用样本公式。在 Google表格 中，在某个单元格中键入 =VAR(B2:B6) 将返回样本方差。
SPSS 中的方差
据我们所知， SPSS 完全没有总体方差的公式，我们认为这是一个严重的缺陷。相反，SPSS 始终使用样本公式。这适用于主体间方差（在本教程中讨论）以及主体内方差。相关输出如下所示。
关于此输出表，另请注意，方差确实是标准差的平方（四舍五入除外）。
关于方差，就是这些了。我们希望本教程对您理解方差有所帮助。