效应量计算 & 转换
Meta 分析师经常面临的一个问题是，无法从所有纳入的研究中提取到合适的“原始”效应量数据。{meta} 程序包中的大多数函数，例如 metacont (第 @ref(pooling-smd) 章) 或 metabin (第 @ref(pooling-or-rr) 章)，只能在有完整的原始效应量数据时才能使用。
在实践中，这通常会导致困难。一些已发表的文章，特别是较早的文章，其报告结果的方式无法提取所需的（原始）效应量数据。经常发现一项研究报告了 \(t\) -检验、单因素 ANOVA 或 \(\chi^2\) -检验的结果，但没有报告我们进行 meta 分析所需的组间均值和标准差，或研究条件下的事件数。
好消息是，我们有时可以将报告的信息转换 为所需的效应量格式。这使得可以使用 metagen 将受影响的研究纳入具有预先计算 数据（第 @ref(pre-calculated-es) 章）的 meta 分析中。例如，我们可以将双样本 \(t\) -检验的结果转换为标准化均值差及其标准误，然后使用 metagen 对预先计算的 SMD 执行 meta 分析。{esc} 程序包 [@esc] 提供了几个有用的函数，允许我们在 R 中直接执行此类转换。
均值 & 标准误
当从均值和标准误 计算 SMD 或 Hedges’ \(g\) 时，我们可以利用均值的标准差定义为其标准误，并从中“分解出”样本大小的平方根 [@thalheimer2002calculate] ：
\[\begin{equation}
\text{SD} =\text{SE}\sqrt{n}
(\#eq:esc1)
\end{equation}\]
我们可以使用 esc_mean_se 函数计算 SMD 或 Hedges’ \(g\) 。这是一个例子：
library (esc)esc_mean_se (grp1m = 8.5 , # 第 1 组的均值 grp1se = 1.5 , # 第 1 组的标准误 grp1n = 50 , # 第 1 组的样本量 grp2m = 11 , # 第 2 组的均值 grp2se = 1.8 , # 第 2 组的标准误 grp2n = 60 , # 第 2 组的样本量 es.type = "d" ) # 转换为 SMD；使用 "g" 表示 Hedges' g
Effect Size Calculation for Meta Analysis
Conversion: mean and se to effect size d
Effect Size: -0.2012
Standard Error: 0.1920
Variance: 0.0369
Lower CI: -0.5774
Upper CI: 0.1751
Weight: 27.1366
回归系数
可以从标准化或非标准化回归系数计算 SMD、Hedges’ \(g\) 或相关系数 \(r\) [@lipsey2001practical, Appendix B] 。对于非标准化系数，我们可以使用 {esc} 中的 esc_B 函数。这是一个例子：
library (esc)esc_B (b = 3.3 , # 非标准化回归系数 sdy = 5 , # 预测变量 y 的标准差 grp1n = 100 , # 第一组的样本量 grp2n = 150 , # 第二组的样本量 es.type = "d" ) # 转换为 SMD；使用 "g" 表示 Hedges' g
Effect Size Calculation for Meta Analysis
Conversion: unstandardized regression coefficient to effect size d
Effect Size: 0.6962
Standard Error: 0.1328
Variance: 0.0176
Lower CI: 0.4359
Upper CI: 0.9565
Weight: 56.7018
esc_B (b = 2.9 , # 非标准化回归系数 sdy = 4 , # 预测变量 y 的标准差 grp1n = 50 , # 第一组的样本量 grp2n = 50 , # 第二组的样本量 es.type = "r" ) # 转换为相关系数
## Effect Size Calculation for Meta Analysis
##
## Conversion: unstandardized regression coefficient
## to effect size correlation
## Effect Size: 0.3611
## Standard Error: 0.1031
## Variance: 0.0106
## Lower CI: 0.1743
## Upper CI: 0.5229
## Weight: 94.0238
## Fisher's z: 0.3782
## Lower CIz: 0.1761
## Upper CIz: 0.5803可以使用 esc_beta 转换标准化回归系数。
esc_beta (beta = 0.32 , # 标准化回归系数 sdy = 5 , # 预测变量 y 的标准差 grp1n = 100 , # 第一组的样本量 grp2n = 150 , # 第二组的样本量 es.type = "d" ) # 转换为 SMD；使用 "g" 表示 Hedges' g
Effect Size Calculation for Meta Analysis
Conversion: standardized regression coefficient to effect size d
Effect Size: 0.6867
Standard Error: 0.1327
Variance: 0.0176
Lower CI: 0.4266
Upper CI: 0.9468
Weight: 56.7867
esc_beta (beta = 0.37 , # 标准化回归系数 sdy = 4 , # 预测变量 y 的标准差 grp1n = 50 , # 第一组的样本量 grp2n = 50 , # 第二组的样本量 es.type = "r" ) # 转换为相关系数
## Effect Size Calculation for Meta Analysis
##
## Conversion: standardized regression coefficient
## to effect size correlation
## Effect Size: 0.3668
## Standard Error: 0.1033
## Variance: 0.0107
## Lower CI: 0.1803
## Upper CI: 0.5278
## Weight: 93.7884
## Fisher's z: 0.3847
## Lower CIz: 0.1823
## Upper CIz: 0.5871请注意，在 meta 分析中使用回归系数可能很棘手，因为我们假设所有研究都使用了相同的模型。如果系数是从多个回归模型中提取的，这尤其成问题，因为研究可能在其模型中控制了不同的协变量，这意味着 \(b\) 值不具有直接可比性。
相关系数
对于组大小相等 的情况 (\(n_1=n_2\) )，我们可以使用以下公式从点二列 相关系数推导出 SMD [@lipsey2001practical, chapter 3] 。
\[\begin{equation}
r_{pb} = \frac{\text{SMD}}{\sqrt{\text{SMD}^2+4}} ~~~~~~~~
\text{SMD}=\frac{2r_{pb}}{\sqrt{1-r^2_{pb}}} (\#eq:esc2)
\end{equation}\]
对于组大小不相等 的情况，必须使用不同的公式 [@aaron1998equating] ：
\[\begin{align}
r_{pb} &= \frac{\text{SMD}}{\sqrt{\text{SMD}^2+\dfrac{(N^2-2N)}{n_1n_2}}} \notag \\
\text{SMD} &= \dfrac{r_{pb}}{\sqrt{(1-r^2)\left(\frac{n_1}{N}\times\left(1-\frac{n_1}{N}\right)\right)}} (\#eq:esc3)
\end{align}\]
要将 \(r_{pb}\) 转换为 SMD 或 Hedges’ \(g\) ，我们可以使用 esc_rpb 函数。
library (esc)esc_rpb (r = 0.25 , # 点二列相关系数 grp1n = 99 , # 第 1 组的样本量 grp2n = 120 , # 第 2 组的样本量 es.type = "d" ) # 转换为 SMD；使用 "g" 表示 Hedges' g
Effect Size Calculation for Meta Analysis
Conversion: point-biserial r to effect size d
Effect Size: 0.5188
Standard Error: 0.1380
Variance: 0.0190
Lower CI: 0.2483
Upper CI: 0.7893
Weight: 52.4967
单因素 ANOVA
我们还可以从具有两 个组的单因素 ANOVA 的 \(F\) -值推导出 SMD。可以通过查看自由度 来识别此类 ANOVA。在具有两个组的单因素 ANOVA 中，自由度应始终以 1 开头（例如，\(F_{\text{1,147}}\) =5.31）。
用于转换的公式如下 [基于 @rosnow1996computing; @rosnow2000contrasts; 参见 @thalheimer2002calculate] ：
\[\begin{equation}
\text{SMD} = \sqrt{ F\left(\frac{n_1+n_2}{n_1 n_2}\right)\left(\frac{n_1+n_2}{n_1+n_2-2}\right)}
(\#eq:esc4)
\end{equation}\]
要从 \(F\) -值计算 SMD 或 Hedges’ \(g\) ，我们可以使用 esc_f 函数。这是一个例子：
esc_f (f = 5.04 , # 单因素方差分析的 F 值 grp1n = 519 , # 第 1 组的样本量 grp2n = 528 , # 第 2 组的样本量 es.type = "g" ) # 转换为 Hedges' g；使用 "d" 表示 SMD
Effect Size Calculation for Meta Analysis
Conversion: F-value (one-way-Anova) to effect size Hedges' g
Effect Size: 0.1387
Standard Error: 0.0619
Variance: 0.0038
Lower CI: 0.0174
Upper CI: 0.2600
Weight: 261.1022
双样本 \(t\) -检验
效应量表示为标准化均值差也可以从独立 双样本 \(t\) -检验值导出，使用以下公式 [@rosnow2000contrasts; @thalheimer2002calculate] ：
\[\begin{equation}
\text{SMD} = \frac {t(n_1+n_2)}{\sqrt{(n_1+n_2-2)(n_1n_2)}}
(\#eq:esc5)
\end{equation}\]
在 R 中，我们可以使用 esc_t 函数从 \(t\) -值计算 SMD 或 Hedges’ g。这是一个例子：
esc_t (t = 3.3 , # t 值 grp1n = 100 , # group1 的样本量 grp2n = 150 , # group 2 的样本量 es.type= "d" ) # 转换为 SMD；使用 "g" 表示 Hedges' g
Effect Size Calculation for Meta Analysis
Conversion: t-value to effect size d
Effect Size: 0.4260
Standard Error: 0.1305
Variance: 0.0170
Lower CI: 0.1703
Upper CI: 0.6818
Weight: 58.7211
\(p\) -值
有时，研究仅报告效应量（例如，Cohen’s \(d\) 值）、该效应的 \(p\) -值，仅此而已。然而，要在 meta 分析中汇集结果，我们需要一种衡量效应量精确度 的方法，最好是标准误。
在这种情况下，我们必须从效应量的 \(p\) -值估计标准误。对于基于差异 （即 SMD）或比率 （即风险或优势比）的效应量，这是可行的，使用 Altman 和 Bland 的公式 [-@altman2011obtain] 。这些公式在 R 的 se.from.p 函数中实现。
假设一项研究有 \(N=\) 71 名参与者，报告的效应量为 \(d=\) 0.71，其中 \(p=\) 0.013，我们可以这样计算标准误：
library (dmetar)se.from.p (0.71 ,p = 0.013 ,N = 71 ,effect.size.type = "difference" )
## EffectSize StandardError StandardDeviation LLCI ULCI
## 1 0.71 0.286 2.410 0.149 1.270对于一项有 \(N=\) 200 名参与者的研究，报告的效应量为 OR = 0.91，其中 \(p=\) 0.38，标准误的计算方式如下：
library (magrittr) # for pipe se.from.p (0.91 , p = 0.38 , N = 200 ,effect.size.type = "ratio" ) %>% t ()
## [,1]
## logEffectSize -0.094
## logStandardError 0.105
## logStandardDeviation 1.498
## logLLCI -0.302
## logULCI 0.113
## EffectSize 0.910
## LLCI 0.739
## ULCI 1.120当 effect.size.type = "ratio" 时，该函数还会自动计算对数转换 的效应量和标准误，这是使用 metagen 函数（第 @ref(pre-calculated-es) 章）所必需的。
\(\chi^2\) 检验
要将 \(\chi^2\) 统计量转换为优势比，可以使用 esc_chisq 函数（假设 d.f. = 1；例如，\(\chi^2_1\) = 8.7）。这是一个例子：
esc_chisq (chisq = 7.9 , # 卡方值 totaln = 100 , # 总样本量 es.type = "cox.or" ) # 转换为优势比
Effect Size Calculation for Meta Analysis
Conversion: chi-squared-value to effect size Cox odds ratios
Effect Size: 2.6287
Standard Error: 0.3440
Variance: 0.1183
Lower CI: 1.3394
Upper CI: 5.1589
Weight: 8.4502
需治人数
Cohen’s \(d\) 或 Hedges’ \(g\) 等效应量通常难以从实践角度解释。想象一下，我们在 meta 分析中发现干预效果为 \(g=\) 0.35。我们如何向患者、政府官员、医疗专业人员或其他利益相关者传达这种效果的含义 ？
为了让其他人更容易理解结果，meta 分析通常还会报告需治人数 (NNT)。该指标最常用于医学研究。它表示必须接受研究治疗的额外患者人数，才能预防 一个额外的负面事件 （例如，复发）或实现 一个额外的正面事件 （例如，症状缓解、反应）。例如，如果 NNT = 3，我们可以说必须接受治疗的三个人才能避免一个额外的复发病例；或者必须治疗三名患者才能实现一个额外的可靠症状缓解病例，具体取决于研究问题。
当我们处理二元效应量数据时，NNT 的计算相对容易。公式如下：
\[\begin{equation}
\text{NNT} = (p_{e_{\text{treat}}}-p_{e_{\text{control}}})^{-1}
(\#eq:esc6)
\end{equation}\]
在此公式中，\(p_{e_{\text{treat}}}\) 和 \(p_{e_{\text{control}}}\) 是在治疗组和对照组中经历该事件的参与者比例。这些比例与用于计算风险比的“风险”（第 @ref(rr) 章）相同，也称为实验组事件率 (EER) 和对照组事件率 (CER)。鉴于其公式，NTT 也可以描述为（绝对）风险差异的倒数。
将标准化均值差或 Hedges’ \(g\) 转换为 NNT 更为复杂。有两种常用的方法：
Kraemer 和 Kupfer 的方法 [-@kraemer2006size] ，该方法从曲线下面积 (AUC) 计算 NNT，AUC 定义为治疗组患者的结果优于对照组患者结果的概率。此方法允许直接从 SMD 或 \(g\) 计算 NNT，而无需任何额外信息。
Furukawa 和 Leucht 的方法使用 CER 或其合理估计值从 SMD 计算 NNT 值。与 Kraemer & Kupfer 方法相比，Furukawa 的方法已被证明在估计真实 NNT 值方面更优 [@furukawa2011obtain] 。如果我们可以对 CER 进行合理的估计，则应始终首选 Furukawa 的方法。
当我们使用风险比或优势比作为效应量指标时，可以使用 nnt 函数直接从 {meta} 对象计算 NNT。在使用 metabin 运行 meta 分析（第 @ref(pooling-or-rr) 章）后，我们只需将结果插入 nnt 函数即可。这是一个例子：
Loading required package: metadat
Loading 'meta' package (version 8.1-0).
Type 'help(meta)' for a brief overview.
data (Olkin1995)# 使用二元效应量数据运行 meta 分析 <- metabin (ev.exp, n.exp, ev.cont, n.cont, data = Olkin1995,sm = "RR" )nnt (m.b)
Number needed to treat (common effect model):
RR p.c NNTB 95%-CI
0.7728 0.1440 30.5677 [26.1222; 37.2386]
0.7728 0.3750 11.7383 [10.0312; 14.3001]
Number needed to treat (random effects model):
RR p.c NNTB 95%-CI
0.7694 0.1440 30.1139 [24.0662; 41.3519]
0.7694 0.3750 11.5641 [ 9.2417; 15.8796]
nnt 函数提供了针对不同假设 CER 的需治人数。这三行显示了数据集中最小、平均和最大 CER 的结果。平均 CER 估计值是通常报告的“典型”NNT。
只要摘要度量 sm 是 "RR" 或 "OR"，也可以将 nnt 与 metagen 模型一起使用。对于此类模型，我们还需要在 nnt 的 p.c 参数中指定假设的 CER。以下是使用我们在第 @ref(m-gen-bin) 章中创建的 m.gen_bin meta 分析对象的示例：
# Also show fixed-effect model results <- update (m.gen_bin, fixed = TRUE )
Warning: Use argument 'common' instead of 'fixed' (deprecated).
nnt (m.gen_bin, p.c = 0.1 ) # 使用 0.1 的 CER
Number needed to treat (common effect model):
RR p.c NNTH 95%-CI
2.0319 0.1000 9.6906 [8.2116; 11.6058]
Number needed to treat (random effects model):
RR p.c NNTH 95%-CI
2.0218 0.1000 9.7870 [6.4761; 16.4843]
可以使用 {dmetar} 中的 NNT 函数将标准化均值差或 Hedges’ \(g\) 转换为 NNT。
要使用 Kraemer & Kupfer 方法，我们只需要为 NNT 函数提供一个效应量（SMD 或 \(g\) ）。只要提供了 CER 值，就会自动使用 Furukawa 的方法。
source ('./NNT.R' ) # load NNT function NNT (d = 0.245 )
[1] 7.270711
attr(,"class")
[1] "NNT" "kk" "numeric"
NNT (d = 0.245 , CER = 0.35 )
[1] 10.61533
attr(,"class")
[1] "NNT" "fl" "numeric"
一个需要谨慎对待的数字：对 NNT 的批评
虽然很常见，但使用 NNT 来传达临床试验的结果并非没有争议。批评包括外行人经常误解它 [尽管据称它是其他效应量指标的“直观”替代方案，@christensen2006number] [@mendes2017number]
此外，无法计算 NNT 的可靠标准误（和置信区间），这意味着它们不能用于 meta 分析 [@hutton2010misleading]
多臂研究
为避免单元分析错误（第 @ref(unit-of-analysis) 章），有时需要在计算（标准化）均值差之前，合并两个或多个试验组的均值和标准差。要合并两个组的连续效应量数据，我们可以使用以下等式：
\[\begin{align}
n_{\text{pooled}} &= n_1 + n_2 \\
m_{\text{pooled}} &= \frac{n_1m_1+n_2m_2}{n_1+n_2} \\
SD_{\text{pooled}} &= \sqrt{\frac{(n_1-1)SD^{2}_{1}+ (n_2-1)SD^{2}_{2}+\frac{n_1n_2}{n_1+n_2}(m^{2}_1+m^{2}_2-2m_1m_2)} {n_1+n_2-1}}
\end{align}\]
我们可以使用 pool.groups 函数在 R 中应用此公式。
这是一个例子：
Extensive documentation for the dmetar package can be found at:
www.bookdown.org/MathiasHarrer/Doing_Meta_Analysis_in_R/
Attaching package: 'dmetar'
The following object is masked _by_ '.GlobalEnv':
NNT
pool.groups (n1 = 50 , # 组 1 的样本量 n2 = 50 , # 组 2 的样本量 m1 = 3.5 , # 组 1 的均值 m2 = 4 , # 组 2 的均值 sd1 = 3 , # 组 1 的标准差 sd2 = 3.8 ) # 组 2 的标准差
Mpooled SDpooled Npooled
1 3.75 3.415369 100
效应量的聚合
{metafor} 中的 aggregate 函数可用于将几个相关的、预先计算的效应量 聚合为一个估计值，例如因为它们是同一研究或集群的一部分。这是避免单元分析错误 的一种方法（参见第 @ref(unit-of-analysis) 章），但这需要我们假设研究内部相关性的值，这通常是未知的。处理效应量依赖性的另一种（通常是更可取的）方法是（相关）分层模型，这将在第 @ref(multilevel-ma) 章中进行说明。
在本例中，我们聚合 Chernobyl 数据集（参见第 @ref(multilevel-R) 章）的效应量，以便每个研究仅提供一个效应量：
library (metafor)library (dmetar)data ("Chernobyl" )# 将 'Chernobyl' 数据转换为 'escalc' 对象 <- escalc (yi = z, # 效应量 sei = se.z, # 标准误 data = Chernobyl)# 在研究层面聚合效应量 # 我们假设相关性为 rho=0.6 <- aggregate (Chernobyl, cluster = author,rho = 0.6 )# 显示聚合结果 c ("author" , "yi" , "vi" )]
## author yi vi
## 1 Aghajanyan & Suskov (2009) 0.2415 0.0079
## 2 Alexanin et al. (2010) 1.3659 0.0012
## 3 Bochkov (1993) 0.2081 0.0014
## 4 Dubrova et al. (1996) 0.3068 0.0132
## 5 Dubrova et al. (1997) 0.4453 0.0110
## [...]请注意，aggregate 返回聚合的效应量 yi 以及它们的 方差 vi，其平方根是标准误。
\[\tag*{$\blacksquare$}\]
