SPSS 协方差分析 (ANCOVA) - 初学者教程

作者: Ruben Geert van den Berg, 发表于 方差分析 (ANOVA) & 统计 A-Z

一家制药公司开发了一种治疗高血压的新药。他们将新药与一种老药、安慰剂和一个对照组进行了测试。数据（部分如下所示）位于 blood-pressure.sav 文件中。

SPSS 血圧変数ビュー

该公司想知道他们的新药是否优于其他治疗方法：服用新药后，这些参与者的血压是否低于其他人？由于治疗方法是一个名义变量，因此可以使用简单的 方差分析 (ANOVA) 来回答这个问题。

现在，已知治疗后血压与治疗前血压密切相关。因此，也应该考虑这个变量。治疗前和治疗后血压之间的关系可以用简单的线性回归来检验，因为这两个变量都是定量的。

我们现在想在控制治疗前血压的情况下，检查药物的效果。我们可以通过将前测作为协变量 (covariate) 添加到我们的方差分析 (ANOVA) 中来实现。这就变成了 协方差分析 (ANCOVA) ——是 analysis of covariance（协方差分析）的缩写。这种分析基本上将方差分析 (ANOVA) 与回归分析相结合。

令人惊讶的是，协方差分析 (ANCOVA) 实际上 不 涉及 协方差 - 快速入门 中讨论的协方差。

协方差分析 (ANCOVA) - 零假设

通常，协方差分析 (ANCOVA) 试图通过拒绝以下零假设来证明某种效应：在控制 1 个或多个协变量 (covariates) 时，所有总体均值都相等。对于我们的例子，这意味着“当控制治疗前血压时，所有治疗方法的平均治疗后血压都相等”。基本的分析非常简单，但确实需要相当多的假设。让我们先来了解一下这些假设。

协方差分析 (ANCOVA) 假设

  1. 独立观察 (independent observations)；
  2. 正态性 (normality)：因变量必须在每个子总体中 呈正态分布。这仅适用于 n < 20 左右的小样本；
  3. 同质性 (homogeneity)：因变量的方差在所有子总体中必须相等。这仅适用于样本量明显不相等的情况；
  4. 回归斜率的同质性 (homogeneity of regression slopes)：协变量 (covariate) 的 b 系数在所有子总体中必须相等。
  5. 线性 (linearity)：协变量 (covariate) 和因变量之间的关系必须是线性的。

考虑到这些，我们整个分析的一个好的策略是：

  1. 首先运行一些基本的数据检查：直方图和描述性统计可以快速了解频率分布和样本量。这告诉我们是否首先需要假设 2 和 3。
  2. 通过分别对我们的治疗组运行回归分析，看看假设 4 和 5 是否成立；
  3. 运行实际的协方差分析 (ANCOVA)，看看假设 3（如果必要）是否成立。

数据检查 I - 直方图

首先，让我们看看我们的血压变量是否首先是合理的。我们将通过运行下面的 语法 (syntax) 来检查它们的直方图。如果您更喜欢使用 SPSS 的菜单，请参阅 在 SPSS 中创建直方图。

***快速检查 I - 因变量和协变量的频率分布。
**
frequencies predias postdias
/format notable
/histogram.

结果

SPSS 协方差分析 (ANCOVA) 直方图

结论：我们的血压测量的频率分布看起来是合理的：我们没有看到任何非常低或高的值。两者都没有显示出大量的 偏度 (skewness) 或 峰度 (kurtosis)，并且它们看起来都相当 呈正态分布。

数据检查 II - 描述性统计

接下来，让我们研究一些描述性统计，尤其是样本量。我们将创建并检查一个表格，其中包含

  • 样本量 (sample sizes)，
  • 均值 (means) 和
  • 标准差 (standard deviations)

对于我们治疗组的因变量和协变量 (covariate)。我们可以从 A nalyze SPSS Menu Arrow C ompare Means SPSS Menu Arrow M eans 或 -更快地- 直接从语法 (syntax) 执行此操作。

***快速检查 II - 按治疗组划分的样本量、描述性统计和方差分析 (ANOVA)。
**
means predias postdias by treatment
/statistics anova.

结果

SPSS 协方差分析 (ANCOVA) 未调整的描述性统计表

我们输出的主要 结论 是：

  • 所有治疗组都具有至少 n = 20 的 合理的样本量 (reasonable samples sizes)。这意味着我们无需担心正态性假设。否则，我们可以使用 Shapiro-Wilk 正态性检验 或 Kolmogorov-Smirnov 检验，但我们宁愿避免这些。
  • 治疗组具有明显 不相等的样本量 (unequal sample sizes)。这意味着我们的协方差分析 (ANCOVA) 需要满足方差同质性假设。
  • 方差分析 (ANOVA) 结果（此处未显示）告诉我们，治疗后均值没有 统计学上的显著差异 (statistically significantly)，F(3,116) = 1.619，p = 0.189。但是，此检验尚未包括我们的协变量 (covariate)——治疗前血压。

我们的基本数据检查就到此为止。我们现在将研究回归结果，然后继续进行实际的协方差分析 (ANCOVA)。

治疗组的单独回归线

现在让我们看看我们的回归斜率在组之间是否相等——协方差分析 (ANCOVA) 的假设之一。我们将首先在散点图中将其可视化，如下所示。

SPSS 散点图菜单 840 1 SPSS 协方差分析 (ANCOVA) 散点图对话框

单击 P aste 会生成以下语法 (syntax)。

***治疗组的回归线的散点图。
**
GRAPH
/SCATTERPLOT(BIVAR)=predias WITH postdias BY treatment
/MISSING=LISTWISE.GRAPH
/TITLE='舒张压按治疗方法划分'。

***双击生成的图表，然后单击“在子组中添加拟合线”图标。**

SPSS 现在创建一个散点图，其中不同的治疗组使用不同的颜色。双击它会在“图表编辑器 (Chart Editor)”窗口中打开它。在这里，我们单击“在子组中添加拟合线 (Add Fit Lines at Subgroups)”图标，如下所示。

SPSS 散点图子组拟合线

结果

SPSS 散点图单独拟合线协方差分析 (ANCOVA)

从此图表得出的主要结论是，回归线 (regression lines) 几乎完全平行：我们的数据似乎满足协方差分析 (ANCOVA) 要求的回归斜率同质性 (homogeneity of regression slopes) 假设。

此外，我们没有看到任何偏离线性 (linearity) 的情况：协方差分析 (ANCOVA) 假设似乎也得到了满足。为了更彻底地检查线性 (linearity)，我们可以使用残差图运行实际的回归。我们在 SPSS 调节回归教程 中就是这样做的。

现在我们检查了一些假设，我们将运行两次实际的协方差分析 (ANCOVA)：

  1. 第一次运行仅检查回归同质性 (homogeneity of regression) 斜率假设。如果成立，则不应存在任何协变量 (covariate) 与治疗的交互作用效应。
  2. 第二次运行测试我们的零假设 (null hypothesis)：在控制我们的协变量 (covariate) 时，所有总体均值是否相等？

SPSS 协方差分析 (ANCOVA) 对话框

首先，导航到 A nalyze SPSS Menu Arrow G eneral Linear Model SPSS Menu Arrow U nivariate 并填写对话框，如下所示。

SPSS 协方差分析 (ANCOVA) Glm 对话框

单击 P aste 会生成以下语法 (syntax)。

***协方差分析 (ANCOVA) I - 仅测试治疗与协变量的交互作用。
**
UNIANOVA postdias BY treatment WITH predias
/METHOD=SSTYPE(3)
/INTERCEPT=INCLUDE
/EMMEANS=TABLES(treatment) WITH(predias=MEAN) COMPARE ADJ(SIDAK)
/PRINT ETASQ HOMOGENEITY
/CRITERIA=ALPHA(.05)
/DESIGN=predias treatment predias*treatment. /* predias*treatment 将交互作用效应添加到模型中。

结果

SPSS 协方差分析 (ANCOVA) 输出 - 协变量与治疗无关紧要

首先请注意，我们的协变量 (covariate) 与治疗的交互作用在统计上根本不显著：F(3,112) = 0.11，p = 0.96。这意味着协变量 (covariate) 的回归斜率在治疗之间没有差异：回归斜率同质性假设似乎几乎完全成立。

对于这些数据，这并不令人感到意外：我们已经看到，不同治疗组的回归线大致平行。我们的第一个协方差分析 (ANCOVA) 基本上是一种更正式的方式来表达相同的观点。

SPSS 协方差分析 (ANCOVA) II - 主效应

我们现在只需像之前一样重新运行我们的协方差分析 (ANCOVA)。但是，这一次，我们将删除协变量 (covariate) 与治疗的交互作用效应。这样做会导致如下所示的语法 (syntax)。

***协方差分析 (ANCOVA) II - 报告这些结果（没有治疗与协变量的交互作用）。
**
UNIANOVA postdias BY treatment WITH predias
/METHOD=SSTYPE(3)
/INTERCEPT=INCLUDE
/EMMEANS=TABLES(treatment) WITH(predias=MEAN) COMPARE ADJ(SIDAK)
/PRINT ETASQ HOMOGENEITY
/CRITERIA=ALPHA(.05)
/DESIGN=predias treatment. /* 仅测试 2 个主要影响。

SPSS 协方差分析 (ANCOVA) 输出 I - Levene 检验

由于我们的治疗组具有明显不相等的样本量，因此我们的数据需要满足方差同质性 (homogeneity of variance) 假设。这就是为什么我们在分析中包含 Levene 检验 的原因。其结果如下所示。

SPSS 协方差分析 (ANCOVA) - Levene 检验输出

结论 (Conclusion)：我们不拒绝误差方差相等的零假设，F(3,116) = 0.56，p = 0.64。我们的数据满足方差同质性 (homogeneity of variances) 假设。这意味着我们可以放心地报告其他结果。

SPSS 协方差分析 (ANCOVA) 输出 - 主体间效应

SPSS 协方差分析 (ANCOVA) 主体间输出

结论 (Conclusion)：我们拒绝了我们的治疗导致平均血压相等的零假设，F(3,115) = 8.19，p = 0.000。重要的是，治疗的效应大小介于中等到较大之间：偏 η 平方 (partial eta squared)（写为 **** η 2 ）= 0.176。

显然，毕竟有些治疗方法比其他治疗方法表现更好。有趣的是，在将我们的前测作为协变量 (covariate) 包括在内之前，这种治疗效果在统计上并不显著。

那么哪些治疗方法表现更好或更差？为了回答这个问题，我们首先检查我们的估计边际均值表。

SPSS 协方差分析 (ANCOVA) 输出 - 调整均值

协变量 (covariates) 的一个作用是根据相应的前测均值之间的任何差异来调整后测均值。这些调整后的均值及其标准误差在下面的估计边际均值 (Estimated Marginal Means) 表中找到。

SPSS 协方差分析 (ANCOVA) 调整后的描述性统计输出

这些调整后的均值表明，所有治疗方法都导致平均血压低于“无”。在旧药中观察到最低的平均血压。那么 哪些 均值差异在统计上显著？这由 事后检验 (post hoc tests) 回答，这些检验在成对比较 (Pairwise Comparisons) 表中找到（此处未显示）。此表显示所有 3 种治疗方法与对照组不同，但其他差异均无统计学意义。有关事后检验的更详细讨论，请参阅 SPSS - 带有事后检验的单向方差分析 (ANOVA) 示例。

协方差分析 (ANCOVA) - APA 格式报告

为了报告我们的协方差分析 (ANCOVA)，我们将首先提供

  • 我们的协变量 (covariate) 的描述性统计 (descriptive statistics)；
  • 我们的因变量（未调整）；
  • 我们的因变量（针对协变量 (covariate) 进行调整）。

ANCOVA Apa 样式描述性统计表

关于此表，有趣的是，通过包含我们的协变量 (covariate)，后测均值几乎没有调整。但是，协变量 (covariate) 大大降低了这些均值的标准误差。这就是为什么只有在包含协变量 (covariate) 时，均值差异才在统计上显著。调整后的描述性统计从最终的协方差分析 (ANCOVA) 结果中获得。未调整的描述性统计可以从以下语法 (syntax) 创建。

***APA 报告表的未调整描述性统计。
**
means predias postdias by treatment
/cells count mean semean.

确切的 APA 表最好通过将这些统计数据复制粘贴到 Excel 或 Googlesheets 中来创建。

其次，我们将为最终模型和误差中包含的效应提供一个标准的 方差分析表 (ANOVA table)。

ANCOVA Apa 样式报告表

该表是通过将 SPSS 输出表复制粘贴到 Excel 并删除冗余行来构造的。